컴퓨터그래픽스_수학 기초

고려대학교 정보대학 컴퓨터학과

2019년 1학기 <컴퓨터그래픽스> 수학 기초

 

 

강의영상 플레이리스트

https://www.youtube.com/watch?v=774mc7tC594&list=PLYEC1V9tJOl03WLDoUEKbiYW_Xt4W6LTl&index=3

 

강의자료

https://media.korea.ac.kr/books/

 

Books · media lab

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컴퓨터그래픽스 수학 기초

Keywords

 

• Orthonormal basis vs. Non-orthonormal basis
• Standard basis vs. Non-standard basis
• Dot product in 2D / 3D space
• Cross product in 3D space
• Line, Ray and Linear Interpolation

 

선형대수 기본개념

 

 

OpenGL -> 매트릭스-벡터 곱셈 연산에서 벡터가 매트릭스 우측에 놓이며 열벡터를 사용

Direct3D -> 매트릭스-벡터 곱셈 연산에서 벡터가 매트릭스 좌측에 놓이며 행벡터를 사용

 

 

 

 

 

좌표계와 기저 (Coordinate System and Basis) - 2차원 공간

좌표계는 원점 origin + 기저 basis로 구성된다

좌표계는 그래픽스에서 간단하게 공간 space라고 부른다

 

Orthogonal 기저 벡터 -> 서로 90도 사이각을 갖는 표준 기저 벡터

\(e_{1}(1,0)\), \(e_{2}(0,1)\) 두 벡터의 선형조합으로 2차원 공간에서 가능한 모든 벡터 표현 가능

 

Orthonormal = Orthogonal + Normalized

\(e_{1}(1,0)\), \(e_{2}(0,1)\) 두 벡터는 단위벡터이며, 단위벡터를 만드는 과정을 normalization 이라고 부름

 

Non-orthonormal / Non-standard -> 서로 90도가 아닌 사이각을 갖는 비표준 기저 벡터

\(e_{1}(1,1)\), \(e_{2}(0,2)\)

 

Orthonormal but non-standard?

서로 90도 사이각을 갖고 단위벡터이지만 표준은 아닌 경우

\(u(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), \(v(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\)

 

 

 

좌표계와 기저 (Coordinate System and Basis) - 3차원 공간

3차원 Orthonormal / standard basis

\(\{e_1, e_2, e_3\}, where \ e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)\)

 

*물론 3차원 공간에서도 non-standard orthonormal 기저가 존재함

*이후 강의에서 소개될 모든 2D / 3D 기저는 모두 orthonormal로 국한함

 

 

 

Dot Product (Inner Product, 내적) - 2D & 3D

대수적인 정의 & 기하학적인 정의

 

• 두 개의 벡터가 수직을 이룬다면 길이와 상관없이 dot product = 0
• 두 개의 벡터가 예각을 이룬다면 dot product > 0
• 두 개의 벡터가 둔각을 이룬다면 dot product < 0

 

2D orthonormal non-standard

\(u(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), \(v(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\)

 

• u-u, v-v 내적은 1
• uv 내적은 0

 

 

 

Cross Product - 3D only

a, b 크로스 프로덕트 벡터는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적과 같다.

a, a 크로스 프로덕트 결과는 (0, 0, 0)이며 blad zero 0으로 표현한다.

a, b 크로스 프로덕트는 b, a 크로스 프로덕트와 방향이 반대이고 길이는 동일하다.

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

Cross product - Wikipedia

 

• 두 벡터 a, b가 평행(나란함) -> 두 벡터의 외적은 0
• a, b가 수직 -> \(sin\theta\)가 가장 커짐 -> 길이 최대화

 

방향과 길이는 알 수 있다, 그러나 \(a\ \text{x} \ b\)의 3차원 좌표는 어떻게 구할까?

엄밀한 정의는 교재에 수록 [Note: Derivation of cross product]

 

 

Line, Ray, and Linear Interpolation

두 점 사이를 잇는 무한한 길이의 직선의 모든 점을 표현하기

 

Linear Interpolation 선형보간은 그래픽스에서 매우 폭넓게 활용되는 중요한 개념!

시작점과 끝점 사이에 있는 모든 점은 양쪽 끝점을 선형보간하여 만들어낼 수 있다.

 

Linear interpolation in 3D space

선형보간된 점의 3차원 좌표값 계산, 2차원과 동일한 보간 공식을 적용

RGB 데이터에 대한 선형보간 예시