컴퓨터그래픽스_좌표계와 변환(1)

고려대학교 정보대학 컴퓨터학과 2019년 1학기 <컴퓨터그래픽스> 4강 좌표계와 변환(1)

 

강의영상 플레이리스트 [Link]

강의자료 [Link]

 

Books · media lab

---

컴퓨터그래픽스 좌표계와 변환 (1)

Keywords

 

• Affine transform
  • Linear transform
    • Scaling \(S\)
    • Rotation \( R \)
      • Origin vs. Arbitrary point
    • and many others
  • Translation \(T\)
    • Cartesian coordinates
    • Homogeneous coordinates

 

Scaling

Scaling = 벡터의 축소와 확대

그래픽스에서는 축소확대를 scaling factor 행렬에 대한 행렬곱으로 표현하고 연산함

 

Rotation

회전변환 또한 축소확대와 동일하게 행렬곱으로 정리하여 표현, 연산 가능하다

 

회전변환이라 함은 "반시계 (counter-clockwise)" by default

시계 정방향의 경우 마이너스 파라미터를 적용

 

Translation and Homogeneous Coordinates

Translation 이동변환 / Homogeneous coordinates 동차좌표

축소확대 및 회전 변환과 달리 벡터합으로 표현되고 연산한다

 

동차좌표(homogeneous coordinates) 이용하면 행렬곱으로도 표현, 연산 가능 (축소확대, 회전변환과의 통일성 위해)

 

$$ (x,y) \rightarrow (x,y,1) $$

 

Translation matrix = Identity matrix의 3열에 \(d_x, d_y\) 삽입한다

 

\begin{equation*}
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & d_x \\
0 & 1 & d_y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}

 

 

동차좌표의 3번째 좌표 \(w\) - 반드시 1이어야 할 필요는 없다, non-zero이면 임의의 값 가능함

 

[Cartesian coordinates -> Homogeneous coordinates]

 

[Homogeneous coordinates -> Cartesian coordinates]

\(w\) 값으로 동차좌표를 나눠주면 \(w=1\)인 평면으로 projection 됨

-> \(w\) 버리고 \(\frac{X}{w},\frac{Y}{w}\) 만을 취한다

 

하지만 여전히 통일성에 문제가 있다! -> 축소확대, 회전변환은 2x2 행렬로 표현하지만 동차좌표는 3x3?

축소확대, 회전변환 행렬도 3x3 꼴로 만들어준다.

 

Transform Composition

오브젝트의 변환은 축소확대, 회전, 이동변환 등 여러 개의 변환들로 구성될 수 있다.

-> 변환의 종류와 상관없이 3x3 행렬로 표현 가능하므로 하나로 합쳐서 연산하는 것이 가능하다.

-> 단, 변환의 순서에 유의하여 연산을 수행할 것!

-> 변환행렬과 원행렬 간에 교환법칙은 성립하지 않는다

 

 

위에서 다룬 회전변환은 "원점(origin)을 중심으로 한 회전"에 대한 연산

원점이 아니라 임의의 한 점을 기준으로 회전시키는 방법은?

-> 임의의 한 점을 원점으로 이동 translation

-> 동일 translation을 원좌표에 대해서도 적용

-> rotation 연산

-> reverse translation, 제자리로 돌려놓기

 

 

[임의의 한 점에 대한 rotation 예시]

마찬가지로 transform composition으로 변환행렬 하나로 묶어서 연산할 수 있음