컴퓨터그래픽스_좌표계와 변환(3)

고려대학교 정보대학 컴퓨터학과 2019년 1학기 <컴퓨터그래픽스> 4강 좌표계와 변환(3)

 

강의영상 플레이리스트 [Link]

강의자료 [Link]

 

Books · media lab

---

컴퓨터그래픽스 좌표계와 변환 (3)

Keywords

• 3D Affine transforms
• Rotation and object-space basis
• 3D orthogonal basis
• Inverse rotation and its generalization

 

3D Affine Transforms

* 3차원 확대축소, 회전, 이동변환 행렬은 4x4 행렬

* 4행은 언제나 \((0 \ 0 \ 0 \ 1)\)

 

 

* 3차원 변환행렬 4x4에서 4행을 제외한 3x4 요소를 \([L|t]\)로 정의

* \(L\) -> combined linear transform, 3x3

* \(t\) -> combined translation, 3차원 열벡터

* \(L\) applied first and then linear-transformed object is translated by \(t\).

 

 

Rotation and Object-space Basis

 * 오브젝트가 만들어지면 object space에 고정됨

* 최초 object space는 world space와 동일하다고 간주됨

  * object-space basis \({u, v, n}\)

  * world-space basis (=standard basis) \({e_1, e_2, e_3}\)

* 오브젝트에 대한 회전 변환은 오브젝트의 orientation을 변화시킨다

 -> "rotated basis of the object space"

 

이하 슬라이드 이미지 예시:

initially object space {u,v,n} = world space {e1, e2, e3}

rotation transform -> y축 기준으로 x, z 좌표에 대한 90 degree rotation

* initial state : (e3=n), (e1=u), (e2=v)

* rotated state : (e3), (e1=n), (e2=v) and u is opposite to e3

 

 

 

y축에 대한 90도 회전변환에 따른 object-space basis & 'rotated' object-space basis \({u, v, n}\)

 

 

 

Inverses of Translation and Scaling

역행렬로 표현되는 역변환 (translation, scaling) 

 

Inverse Rotation

\({u,v,n}\) -> orthonormal + non-standard basis

컴퓨터그래픽스_수학 기초

 

for example,

 

$$u \cdot u=v \cdot v = n \cdot n = 1$$

$$u \cdot v= v \cdot n = n \cdot u = 0$$

 

 

 

$$R^{T}R=I$$

$$R^{T}=R^{-1}$$

 

위 조건을 만족하는 경우, 3차원 회전 변환과 역변환은 아래와 같이 일반화 가능