컴퓨터그래픽스_좌표계와 변환(2)

고려대학교 정보대학 컴퓨터학과 2019년 1학기 <컴퓨터그래픽스> 4강 좌표계와 변환(2)

 

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컴퓨터그래픽스 좌표계와 변환 (2)

Keywords

• Affine transform
• \([L|t]\)
• pose = position + orientation
• Rigid motion
• 3D scaling
• 3D rotation (CCW vs. CW rotations)
• 3D translation
• world transform

 

Affine Transform

* When a series of affine transforms is concatenated to make a single 3x3 matrix, the third row is always \((0 \ 0 \ 1)\).

* 3x3 변환행렬을 몇 개를 적용하든, 변환연산 결과 affine matrix의 3행은 언제나 (0, 0, 1)이 된다. (homogeneous coordinate)

* affine matrix 3행을 무시하고, 나머지 2x3 행렬은 \([L|t]\)으로 표현하며, \(L\)은 앞부분 2x2 행렬, \(t\)는 3열부의 2차원 열벡터이다.

 

• \(L\)은 'combined' linear transform을 의미하며, 입력으로 받은 좌표가 포함되지 않는다
• \(t\)는 'combined' translation을 의미하며, 입력으로 받은 좌표의 선형변환 결과를 포함할 수 있다 (입력과 완전하게 동일한 경우는 일부의 특별한 경우)

 

 

 

conceptual decomposition of \([L|t]\)

* 선형변환을 먼저 적용한다

* \(t\)를 사용하여 translate 한다

* \([L|t]\)이 하나의 점을 변환하는 방식 -> \(Lp+t\)

 

 

 

Rigid Motion

강체 모션 = shape는 그대로 유지시키되, pose (position + orientation) 만을 바꾸는 변환

*단, scaling은 배제하므로 연산 결과는 \([R|t]\)로 표현한다.

 

• \(R\) = 'combined' rotation which does not include any translation terms
• \(t\) = 'combined' translation which usually includes the rotation terms

 

conceptual decomposition of \([R|t]\)

* 회전변환을 먼저 적용한다

* \(t\)를 사용하여 translate 한다

* \([R|t]\)이 하나의 점을 변환하는 방식 -> \(Rp+t\)

 

일반적으로 스케일링을 배제한 affine transform이 더 자주 사용된다.

 

 

 

3D Scaling

uniform scaling vs. non-uniform scaling, simple!

 

 

 

3D Rotation

3차원 회전은 점을 중심으로 하는 2차원 회전과 달리 회전 축(axis of rotation)을 필요로 한다

z축을 중심으로 3차원 공간에 정의된 (x, y, z) 회전 = z좌표는 움직이지 않음 = 2차원 공간에서 (x,y) 회전

 

 

z축 기준 3차원 회전 -> x축이 y축 방향으로

x축 기준 3차원 회전 -> y축이 z축 방향으로

 

3차원 공간에서의 회전을 직관적으로 이해하는 법

= 물체를 바라보는 시점이 회전축과 동일한 방향이다

= 따라서 회전축이 공간에서 사라진다

 

 

 

 

3차원 회전의 방향: CCW (Counter Clock-wise) vs. CW (Clock-wise)

 

CCW -> positive angle, \(\theta\)

CW -> negative angle, \(-\theta\)

 

*note : \(-\theta = 2\pi-\theta\)

 

 

3D Translation

simple!

3차원 선형변환에서는 homogeneous coordinates로서 4x4 행렬로 표현하고 연산한다.

 

 

 

Application: World Transform

object space = 하나의 오브젝트를 생성하는데 사용하는 좌표계

어떤 오브젝트를 위한 좌표계(object space)는 또 다른 오브젝트를 위한 좌표계와 상관이 없다.

world space -> 모든 오브젝트 모델들의 위치를 통합하여 표현하는 단일 좌표계

 

world transform = transform from object space to world space